拓扑流形
域的不变性:
U \subset \real^n, V \subset \real^n,f:U \rightarrow V同胚,则m=n
n维拓扑流形的定义:
- T2空间(Hausdorff):任给两点,能用两个开集包含他们,且两开集不相交。
- 第二可数(second-countable):有可数基。
- 局部欧式:任给一点,该点的领域同胚于\real^n
例子:
- 图
对于U \subset \real^m,f:U \rightarrow \real^n,构造一个图
P(f) = {(x,y)|x\in U,y=f(x)}
该图是m维拓扑流形。证明:
已知x是m维的,而y是n维的,因此P(f)\subset\real^{m+n},由于T2空间和第二可数的性质具有遗传性(inheritance),因此图具有T2空间和第二可数。
对于局部欧式,可以写出如下映射:
对于(x,y)\rightarrow x,有 \varphi(x,y)=x
对于x\rightarrow (x,y),有 \psi(x)=(x,f(x))
由此可得,图与\real^m同胚。
球
S^n={(x_1,x_2,…,x_{n+1})|x_1^2+,…,+x_n^2=1}
球是n维拓扑流形grassman流形
grass(p,n)
表示为\real^n中p维子空间,grassman流形是p(n-p)维的拓扑流形。
拓扑流形的构造方法
开集
\real^n中的任意开集都是n维拓扑流形。
乘积
N是n维流形,M是m维流形,则两者的笛卡尔积M\times N为n+m维流形。
所谓的笛卡尔积,即M\times N={(x,y)|x\in M,y\in N}
例如:A={a,b},B={0,1,2},则:
A\times B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B\times A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
连通和
- 封闭表面