拓扑流形

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域的不变性：

U \subset \real^n, V \subset \real^n,f:U \rightarrow V同胚,则m=n

n维拓扑流形的定义：

  • T2空间（Hausdorff）：任给两点，能用两个开集包含他们，且两开集不相交。
  • 第二可数（second-countable）：有可数基。
  • 局部欧式：任给一点，该点的领域同胚于\real^n

例子：

  • 图

    对于U \subset \real^m,f:U \rightarrow \real^n，构造一个图
    P(f) = {(x,y)|x\in U,y=f(x)}
    该图是m维拓扑流形。

    证明：

    已知x是m维的，而y是n维的，因此P(f)\subset\real^{m+n}，由于T2空间和第二可数的性质具有遗传性（inheritance）,因此图具有T2空间和第二可数。

    对于局部欧式，可以写出如下映射：

    对于(x,y)\rightarrow x,有 \varphi(x,y)=x

    对于x\rightarrow (x,y),有 \psi(x)=(x,f(x))

    由此可得，图与\real^m同胚。

  • 球
    S^n={(x_1,x_2,…,x_{n+1})|x_1^2+,…,+x_n^2=1}​
    球是n维拓扑流形

  • grassman流形
    grass(p,n)
    表示为\real^n中p维子空间，grassman流形是p(n-p)维的拓扑流形。

拓扑流形的构造方法

  • 开集

    \real^n中的任意开集都是n维拓扑流形。

  • 乘积

    N是n维流形，M是m维流形，则两者的笛卡尔积M\times N为n+m维流形。

    所谓的笛卡尔积，即M\times N={(x,y)|x\in M,y\in N}

    例如：A={a,b},B={0,1,2}，则：

    A\times B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}

    B\times A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

  • 连通和

  • 封闭表面