拓扑流形

域的不变性:

U \subset \real^n, V \subset \real^n,f:U \rightarrow V同胚,则m=n


n维拓扑流形的定义:

  • T2空间(Hausdorff):任给两点,能用两个开集包含他们,且两开集不相交。
  • 第二可数(second-countable):有可数基。
  • 局部欧式:任给一点,该点的领域同胚于\real^n

例子:

  • 对于U \subset \real^m,f:U \rightarrow \real^n,构造一个图
    P(f) = {(x,y)|x\in U,y=f(x)}
    该图是m维拓扑流形。

    证明

    已知xm维的,而yn维的,因此P(f)\subset\real^{m+n},由于T2空间第二可数的性质具有遗传性(inheritance),因此图具有T2空间第二可数

    对于局部欧式,可以写出如下映射:

    对于(x,y)\rightarrow x,有 \varphi(x,y)=x

    对于x\rightarrow (x,y),\psi(x)=(x,f(x))

    由此可得,图与\real^m同胚。


  • S^n={(x_1,x_2,…,x_{n+1})|x_1^2+,…,+x_n^2=1}​
    球是n维拓扑流形

  • grassman流形
    grass(p,n)
    表示为\real^np维子空间,grassman流形是p(n-p)维的拓扑流形。


拓扑流形的构造方法

  • 开集

    \real^n中的任意开集都是n维拓扑流形。

  • 乘积

    Nn维流形,Mm维流形,则两者的笛卡尔积M\times Nn+m维流形。

    所谓的笛卡尔积,即M\times N={(x,y)|x\in M,y\in N}

    例如:A={a,b},B={0,1,2},则:

    A\times B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}

    B\times A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

  • 连通和

  • 封闭表面