拓扑学基本概念

拓扑结构的定义

定义M为一个集合。则拓扑结构OP(M)的子集,即:
O \subseteq P(M)
其中,P(M)代表M的所有子集构成的集合。拓扑结构O满足以下条件:
拓扑学基本概念1
举个例子说明:

定义M={1,2,3},那么我们可以写出如下拓扑结构:

example1O_1={\empty,{1,2,3} },这是最短的拓扑结构,叫做chaotic拓扑。

example2O_2={P(M) },这是最长的拓扑结构,叫做discrete拓扑。

example3O_3={\empty,{1},{2},{1,2,3}}并不是一个拓扑结构,因为它的两个子集{1},{2}的并集为{1,2}\notin O

example4\R^d


连续性的定义

一个映射f:M\rightarrow N若满足以下条件则称为连续:
\forall v\in O_N: preim_f(v)\in O_M
其中,preimv按照映射f的preimage。例子如下:

example5:现有如下集合M={1,2},N={1,2},有如下拓扑结构O_M={\empty,{1},{2},{1,2}}O_M={\empty,{1,2}},有如下映射

映射

可以发现,对于O_N中的所有元素:\empty,{1,2},都有:
preim_f(\empty)=\empty \in O_M\\ preim_f({1,2})={1,2} \in O_M
则可以得出映射f是连续的。

但若把映射倒过来,定义f^{-1}: N\rightarrow M

M中的元素{1}的preimage并不属于N,则f^{-1}不是连续的
preim_{f^{-1}}({1})={2}\notin O_M


同胚

称两个拓扑空间(M,O_M),(N,O_N)的映射f:M\rightarrow N为同胚,若它具有如下性质:

  • f是双射(bijection)的
  • f是连续的
  • 反函数f^{-1}也是连续的

连续映射的组合

对于f:M\rightarrow N,g:N\rightarrow P,那么由M到P的映射被写作g\circ f

g \circ f:M \rightarrow P

现有如下结论,若f,g为连续的,则g \circ f为连续的。


开集和闭集

M为一个集合,O为一个拓扑结构,(M,O)成为拓扑空间

u\in O,则u是一个开集。

M\backslash A \in O,则A是一个闭集。其中M\backslash A表示去掉M中的A元素后剩下的集合。


参考资料

[1] P.-A. Absil R. Mahony R. Sepulchre. Optimization Algorithms on Matrix Manifolds[M]. Princeton Univ Pr, 2007.

[2] 陈维恒. 微分流形初步[M]. 高等教育出版社, 2001

[3] 学弱猹. 矩阵流形优化|笔记整理(1)——基本概念,可导性迁移[DB/OL]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/59694799, 2019

[4] 肖锡臻. 【泡泡机器人公开课】第三十三课:矩阵流形上的优化-肖锡臻[DB/OL]. https://www.bilibili.com/video/BV1h441177y9, 2019

[5] 李阿季. 微分流形2020.2.26[DB/OL]. https://bilibili.com/video/BV1n7411K7q8, 2020

[6] 留德华叫兽. 主编推荐 | 袁亚湘院士团队最新力作:流形优化综述[DB/OL]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/130841306, 2020

[7] Jiang Hu Xin Liu Zai-Wen Wen Ya-Xiang Yuan. A Brief Introduction to Manifold Optimization[J]. Journal of the Operations Research Society of China, 2020(prepublish), pp.1-50

[8] Schuller. International Winter School on Gravity and Light 2015[DB/OL]. https://www.youtube.com/playlist?list=PLMsYJgjgZE8hh6d6ia2dP1NI0BKNRXbiw, 2015

[9] Boumal, N. Mishra, B. Absil, P.-A. Sepulchre, R. Manopt, a Matlab Toolbox for Optimization on Manifolds[J]. Journal of Machine Learning Research, 2014