拓扑学基本概念
拓扑结构的定义
定义M为一个集合。则拓扑结构O为P(M)的子集,即:
O \subseteq P(M)
其中,P(M)代表M的所有子集构成的集合。拓扑结构O满足以下条件:
举个例子说明:
定义M={1,2,3},那么我们可以写出如下拓扑结构:
example1:O_1={\empty,{1,2,3} },这是最短的拓扑结构,叫做chaotic拓扑。
example2:O_2={P(M) },这是最长的拓扑结构,叫做discrete拓扑。
example3:O_3={\empty,{1},{2},{1,2,3}}并不是一个拓扑结构,因为它的两个子集{1},{2}的并集为{1,2}\notin O。
example4:\R^d
连续性的定义
一个映射f:M\rightarrow N若满足以下条件则称为连续:
\forall v\in O_N: preim_f(v)\in O_M
其中,preim为v按照映射f的preimage。例子如下:
example5:现有如下集合M={1,2},N={1,2},有如下拓扑结构O_M={\empty,{1},{2},{1,2}},O_M={\empty,{1,2}},有如下映射
可以发现,对于O_N中的所有元素:\empty,{1,2},都有:
preim_f(\empty)=\empty \in O_M\\ preim_f({1,2})={1,2} \in O_M
则可以得出映射f是连续的。
但若把映射倒过来,定义f^{-1}: N\rightarrow M
M中的元素{1}的preimage并不属于N,则f^{-1}不是连续的
preim_{f^{-1}}({1})={2}\notin O_M
同胚
称两个拓扑空间(M,O_M),(N,O_N)的映射f:M\rightarrow N为同胚,若它具有如下性质:
- f是双射(bijection)的
- f是连续的
- 反函数f^{-1}也是连续的
连续映射的组合
对于f:M\rightarrow N,g:N\rightarrow P,那么由M到P的映射被写作g\circ f
即g \circ f:M \rightarrow P
现有如下结论,若f,g为连续的,则g \circ f为连续的。
开集和闭集
M为一个集合,O为一个拓扑结构,(M,O)成为拓扑空间
u\in O,则u是一个开集。
M\backslash A \in O,则A是一个闭集。其中M\backslash A表示去掉M中的A元素后剩下的集合。
参考资料
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